Automated discretization in multiphysics

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
Teilprojekt Special Research Program (SFB)
Projektleiter: Joachim SCHÖBERL

In diesem Teilprojekt von SFB65 "Taming Complexity in Partial Differential Systems" betrachten wir Aufgabenstellungen mit unterschiedlichen physikalischen Modellen, und insbesonders deren Kopplung.
Typische Mehrfeldprobleme sind elektrische Maschinen, wo durch magnetische Felder Kräfte und damit Bewegungen erzeugt werden, oder elastische Körper, die in einer Strömung verformt werden. Solche Aufgabenstellungen können am Computer mit der Finite-Elemente-Methode simuliert werden.

Wir entwickeln dazu die Finite-Elemente-Software Netgen/NGSolve. Mit NGSolve können diese gekoppelten physikalischen Modelle in der mathematischen Sprache von Variationsformulierungen beschrieben werden. Diese Formulierung wird in einem Syntaxbaum dargestellt, und daraus wird automatisch eine geeignete Finite Elemente Diskretisierung erstellt. Es wird code generiert, der für unterschiedliche Computerarchitekturen optimiert werden kann.

Dieses Programmpaket ist als Python-Modul frei verfügbar, und wird vielfältig im akademischen als auch industriellem Umfeld eingesetzt. Wenn Sie es gleich online ausprobieren möchten, dann ist das auf der Seite https://www.tuwien.at/mg/asc/cme/interaktive-galerie einfach möglich.

Grafische Darstellung einer Wellengleichung, das in der Form einem Kleeblatt gleicht

Large-time behavior of continuous dissipative systems

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
FWF SFB
Projektleiter: Anton ARNOLD

Zeitliche Evolutionsprobleme beschreiben eine Vielzahl von dynamischen Vorgängen in Technik und den Naturwissenschaften und werden oft durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschrieben, teils auch durch Integro-Differentialgleichungen. In einem thermodynamischen Kontext kann man bei vielen dieser Systeme erwarten, dass sich nach "langer Zeit" ein Gleichgewicht, also ein zeit-unabhängiger Stationärzustand einstellt.

Im vom FWF-geförderten SFB-Projektteil "Large-time behavior of continuous dissipative systems" wird das Langzeitverhalten von Lösungen solcher Systeme untersucht, insbesondere soll durch Konstruktion von geeigneten Lyapunov-Funktionalen meist exponentielle Konvergenz gegen das Gleichgewicht bewiesen werden.
Ein zentraler Aspekt des Projekts sind degeneriert dissipative Systeme, also Systeme, deren symmetrischer Anteil der Systemmatrix oder des Generators nicht gleichmäßig dissipativ ist. Solche Systeme werden hypokoerziv genannt, und dort setzt der Trend zum Gleichgewicht typischerweise zeitverzögert ein. Im Zuge des Projekts konnte diese Zeitverzögerung mit einem neu eingeführten "Hypokoerzivitätsindex" sehr präzise charakterisiert werden.

Projektmitarbeiter: Stefan EGGER, Franz ACHLEITNER, Eduard NIGSCH, Artur STEPHAN

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
SFB-Projekt
Projektleiter_in Jens Markus MELENK (E101-02)

Ein bewährtes Instrument zur Beschreibung physikalischer Phänomene sind Partielle Differentialoperatoren, die von ihrer Natur her lokal sind und sich nur für die Beschreibung bestimmter Effekte mit kurzer Reichweite eignen. Ein klassisches Beispiel sind Diffusionsprozesse, die durch den Laplace-Operator modelliert werden. Neuere Entwicklungen in der Wissenschaft, z. B. in den Materialwissenschaften, der Finanzmathematik oder der Bildverarbeitung, weisen auf die Notwendigkeit hin, Wechselwirkungen mit großer Reichweite zu berücksichtigen. Die resultierenden Operatoren sind dann nichtlokal. Ein Prototyp sind fraktionale Diffusionsprozesse, die durch den fraktionalen Laplace-Operator modelliert werden. Gleichungen mit solchen Operatoren können typischerweise nicht explizit gelöst werden, sodass numerische Methoden zum Einsatz kommen müssen.

Das Projekt „Nichtlokale Operatoren in der Kontinuumsmechanik“ im SFB 65 „Taming complexity in partial differential systems“ entwickelt schnelle und effiziente numerische Methoden für Gleichungen mit nichtlokalen Operatoren. Die Effizienz kann auf verschiedene Weise erreicht werden. Ein Schwerpunkt des Projekts ist die Verwendung von Methoden hoher Ordnung mit ihrem Potenzial für hohe Genauigkeit bei einer geringen Anzahl von Diskretisierungsparametern. Eine weitere Möglichkeit, ein effizientes Verfahren zu erhalten, ist die Nutzung von Matrixkompressionstechniken zur Verringerung des Speicherbedarfs bei der numerischen Realisierung der Diskretisierung des nichtlokalen Operators.

Übersetzt mit DeepL.com (kostenlose Version)

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
SFB-Projekt
Projektleiter_in Dirk PRAETORIUS (E101-02)

Coupling in computational micromagnetics

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
SFB-Projekt
Projektleiter_in Elisa DAVOLI (E101-01)

Nonlocal challenges in continuum mechanics

voraussichtliche Laufzeit: 01.03.2017–28.02.2026
FWF-Forschungsförderungsprojekt
Projektleiter: Ansgar JÜNGEL (E101-01)

Dissipative Systeme sind dadurch charakterisiert, dass sie weit vom thermodynamischen Gleichgewicht entfernt sind und dabei Energie oder Materie mit der Umgebung austauschen. Für große Zeiten konvergieren die physikalischen Größen gegen das Gleichgewicht, wenn keine zusätzliche Kräfte wirken. Dieses Phänomen wird durch die sogenannte Entropie beschrieben. Ziel des Projekts ist der mathematische Beweis der Konvergenz gegen das Gleichgewicht für diskrete Gleichungen, die bei numerischen Simulationen eine Rolle spielen. Die Schwierigkeit ist, dass viele mathematische Hilfsmittel bei diskreten Strukturen nicht verwendet werden können. Dieses Problem soll überwunden werden, indem neue diskrete Entropiemethoden entwickelt werden. Hierbei werden verschiedene mathematische Theorien (Differentialgleichungen, Stochastik, Numerik) miteinander verknüpft. Die Theorie wird angewendet auf Gleichungen der Zellbiologie und des Mikromagnetismus. Das Projekt soll helfen, die Stabilität numerischer Verfahren zu verbessern.

Projektmitarbeiter_innen: Katharina SCHUH, Peter HIRVONEN, Sara XHAHYSA