Man kann sie nicht sehen, schließlich sind sie kleiner als die Wellenlänge des Lichts, aber sie können Leben retten: Winzige Nanostrukturen verwendet man heute in der Industrie und der Medizin. Mit Nano-Sensoren kann man giftige Gase in der Luft nachweisen oder gefährliche Krankheiten rechtzeitig erkennen. Das bringt nicht nur große technologische Herausforderungen mit sich, auch in der Mathematik muss man ganz neue Methoden entwickeln, um Nano-Drähte, Nano-Poren oder andere winzige Strukturen verstehen und weiter verbessern zu können.

Prof. Clemens Heitzinger vom Institut für Analysis und Scientific Computing der TU Wien forscht an partiellen Differentialgleichungen, die man speziell in der Nano-Forschung benötigt. Vor zwei Jahren gewann er einen der begehrten, hochdotierten START-Preise des FWF, mit diesem Geld konnte er nun eine eigene Forschungsgruppe an der TU Wien aufbauen.

Winzige Sensoren besser verstehen
„Biosensoren basierend auf Nanodrähten beispielsweise dienen der Analyse der menschlichen DNA und können Proteine detektieren, die ein Hinweis auf das Vorhandensein von Tumoren im Körper sind“, sagt Clemens Heitzinger. Solche extrem miniaturisierten Sensoren haben viele Vorteile: Ihr Funktionsprinzip ist einfach, sie arbeiten schnell und können auch kostengünstig hergestellt werden. Allerdings kann man sie nur dann optimal nutzen, wenn man ihre Funktion genau versteht. „Die Basis dafür sind mathematische Modelle, etwa in Form von Systemen partieller Differentialgleichungen, mit denen wir die zugrundeliegenden physikalischen Vorgänge korrekt beschreiben können“, sagt Heitzinger.

Partielle Differentialgleichungen beschreiben, wie die unterschiedlichen Veränderungen physikalischer Größen, also ihre Ableitungen, miteinander zusammenhängen. So kann etwa ein langer Stab an verschiedenen Stellen unterschiedliche Temperaturen haben, und diese ortsabhängigen Temperaturunterschiede legen wiederum fest, wie sich die Temperaturen zeitlich verändern – diesen Zusammenhang beschreibt die Wärmeleitungsgleichung, ein recht einfaches Mitglied aus der großen Familie der partiellen Differentialgleichungen.

Mehrskalenprobleme und der Zufall
„In der Nanotechnologie hat man es oft mit mehreren unterschiedlichen Größenskalen zu tun“, erklärt Clemens Heitzinger. „Oft gibt es Effekte auf atomarer Ebene oder auf der Längenskala von Nanometern, die zwar für das Verhalten der Struktur wichtig sind, doch eigentlich will man das Verhalten auf einer viel größeren Skala verstehen.“ In diesem Fall hat man es mit einem sogenannten „Mehrskalenproblem“ zu tun, das man durch kluge Kopplungen unterschiedlicher Herangehensweisen lösen kann.

Manchmal spielt in der Technik auch der Zufall eine entscheidende Rolle – etwa wenn ein Material nicht völlig gleichmäßig aufgebaut ist. Vielleicht verstecken sich darin kleine Löcher, deren Position und Größe zufällig verteilt ist. Auch solche Zufälligkeiten kann man in die Gleichungen einbauen, man spricht dann von „stochastischen partiellen Differentialgleichungen“.

Clemens Heitzinger untersucht mit seinem Team, unter welchen Bedingungen solche Gleichungen eine Lösung haben, ob die Lösung eindeutig ist, und auch wie man sie finden kann. Während sich die mathematische Struktur der Gleichungen normalerweise mit Papier und Bleistift analysieren lässt, muss man für die Berechnung der Lösungen den Computer einsetzen.

Zwischen Österreich und den USA
Mathematische Grundlagenforschung und die Entwicklung neuer Technologien gehören für Clemens Heitzinger untrennbar zusammen. „Genau diese Verbindung macht für mich den Kern einer technischen Universität aus“, meint er.
Heitzinger hat im Lauf seiner wissenschaftlichen Karriere schon eine ganze Reihe von Forschungseinrichtungen kennengelernt. Er studierte und promovierte an der TU Wien, dann ging er in die USA (Arizona State University und Purdue University) und kehrte wieder nach Österreich zurück – allerdings nicht an seine Alma Mater, sondern an die Universität Wien.

Weitere Auslandsaufenthalte in Arizona und an der Stanford University folgten, und im Jahr 2010 ging Heitzinger an die Universität Cambridge in Großbritannien. 2013 erhielt er den START-Preis des FWF, 2014 ein Angebot als Associate Professor in den USA, und 2015 kehrte er dann als Associate Professor an die TU Wien zurück.