Julian STREITBERGER hat am 20.06.2024 erfolgreich seine Dissertation mit dem Titel „Optimal complexity of standard and goal-oriented adaptive FEM for general second-order linear elliptic PDEs“ verteidigt und das Doktoratsstudium der Technischen Mathematik mit Auszeichnung abgeschlossen.

Die meisten Probleme in Naturwissenschaft und Technik werden durch Differentialgleichungen beschrieben, deren Lösung man in der Regel nicht in geschlossener Form angeben kann, selbst wenn ein abstrakter mathematischer Beweis garantiert, dass die Lösung existiert und eindeutig ist. Ist man nicht nur am qualitativen Verhalten der Lösung, sondern an quantitativen Eigenschaften interessiert, so ist die numerische Simulation unumgänglich. In seiner Dissertation formuliert und analysiert Julian Streitberger adaptive Algorithmen zur numerischen Lösung von allgemeinen und insbesondere unsymmetrischen elliptischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) zweiter Ordnung. Ziel des Forschungsvorhabens war die Entwicklung von Algorithmen, bei denen man mathematisch garantieren kann, dass der Fehler mit der Rechenzeit optimal fällt. Während die optimale Lösung symmetrischer PDEs in jüngster Zeit mathematisch fundiert werden konnte, waren rechenzeit-optimale Algorithmen für unsymmetrische Probleme offen. Die entsprechende Forschungsfrage wird in der nun vorliegenden exzellenten Dissertation beantwortet: Nach der Finite-Elemente-Diskretisierung wird das resultierende unsymmetrische Gleichunggsystem auf dem funktionalanalytischen Level mittels der sogenannten Zarantonello-Iteration symmetrisiert — analog zum state-of-the-art-Beweis des Lemmas von Lax-Milgram. Die resultierenden symmetrischen Gleichungssysteme werden dann mit einem optimalen Mehrgitterverfahren iterativ (und inexakt) gelöst. Insgesamt erhält man damit drei geschachtelte Schleifen im adaptiven Algorithmus: Diskretisierung — Symmetrisierung — Iterative Lösung. Der zentrale Beitrag von Julian Streitberger liegt nun darin, die Rechenkosten (und damit die Rechenzeit) dieser Schleifen rigoros zu analysieren, adaptiv zu steuern und auszutarieren, um schließlich optimales Konvergenzverhalten mathematisch formulieren und beweisen zu können. Insgesamt führte das Promotionsstudium zu vier wissenschaftlichen Publikationen, die in der Dissertation zusammengefasst werden.

Die Gutachter der Dissertation waren Prof. Emmanuil H. GEORGOULIS (Heriot-Watt University Edinburgh & NTU Athens), Prof. Christian KREUZER (TU Dortmund) und Prof. Dirk PRAETORIUS (TU Wien). Dr. Julian Streitberger bleibt zunächst noch einige Monate als Postdoc in der Arbeitsgruppe Numerik von PDEs unter der Leitung von Prof. Dirk Praetorius an der TU Wien.