Eine der verwirrendsten und verblüffendsten Eigenschaften der Mathematik ist: Sie kann sich selbst untersuchen. Mit Mathematik kann man nicht nur die Welt beschreiben, mit Mathematik kann man auch die Mathematik beschreiben. Man kann mathematisch untersuchen, was sich mathematisch überhaupt untersuchen lässt. Auf diese Weise sind einige der wichtigsten Ergebnisse der Mathematik hergeleitet worden – etwa die berühmten Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel.

Juan Aguilera von der TU Wien hat nun mit seinen Kollegen Joan Bagaria (Barcelona) und Philipp Lücke (Hamburg) verblüffende Zusammenhänge gefunden – zwischen ganz bestimmten Sorten unendlich großer Zahlen, die noch viel unendlicher sind als die Unendlichkeiten, mit denen man normalerweise zu tun hat, und tiefen Fragen über die Mathematik selbst. Etwa: Sind alle mathematischen Objekte überhaupt definierbar, oder enthält die Mathematik Mengen, die man niemals definieren kann? Das würde bedeuten: Das Universum der Mathematik ist in gewissem Sinn chaotisch und ungeordnet.

ZFC – die Mathematik, wie wir sie kennen

„Die üblichen Grundannahmen der Mathematik werden oft mit der Abkürzung ZFC bezeichnet – nach den Mathematikern Zermelo und Fraenkel und C, dem sogenannten Auswahlaxiom“, sagt Juan Aguilera. „Dieses ZFC-Axiomensystem funktioniert hervorragend, wir arbeiten seit 100 Jahren damit. Man kann aber zeigen: Das System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Dass ZFC tatsächlich funktioniert und niemals auf innere Widersprüche führt – das ist eine Vermutung, an der in der Welt der Mathematik eigentlich niemand ernsthaft zweifelt. Aber mathematisch beweisen kann man es nicht.“

Man kann allerdings die Struktur der Mathematik selbst analysieren, und diese Analyse führt in eine merkwürdige neue Welt – in die Welt der Unendlichkeiten. „Es gibt unendlich viele Primzahlen, oder auch unendlich viele Punkte auf einer Linie. Aber nicht jede Unendlichkeit ist gleich groß. Es gibt Unendlichkeiten, die noch unvergleichlich viel größer sind als andere Unendlichkeiten“, erklärt Aguilera.

Exacting cardinals – unendlicher als unendlich

Das Team definierte eine spezielle Klasse von Unendlichkeiten – die sogenannten „exacting cardinals“. Das sind Unendlichkeiten, die so definiert sind, dass sie Aussagen über die Struktur der Mathematik erlauben – man weiß aber nicht genau, ob es diese „exacting cardinals“ überhaupt gibt.

Wenn es sie gibt, so konnte das Team zeigen, dann folgt daraus, dass im Universum der Mathematik ganz bestimmte Symmetrien herrschen. Man kann dann aus einem Teilbereich der Mathematik in bestimmten Fällen auf die ganze Mathematik schließen – ein bisschen so, wie ein Brokkoli-Röschen ziemlich genau so aussieht wie eine verkleinerte Variante des ganzen Brokkoli.

Diese Symmetrien, so stellte sich heraus, haben aber bemerkenswerte Auswirkungen auf das, was sich mathematisch überhaupt sagen lässt: Sie machen es unmöglich, alle Mengen, die es überhaupt gibt, zu definieren – so ähnlich wie die Rotationssymmetrie eines sich drehenden Rads dazu führt, dass die Punkte am Rad nicht voneinander unterschieden werden können. Jeder Punkt ist gleich gut wie jeder andere. Symmetrie führt zum Verlust von Spezifizität.

V = HOD: Ist das Universum der Mathematik definierbar?

Und dadurch, so die Kernaussage der neuen Publikation des Teams, kommt ein Axiom ins Wanken, das von vielen Mathematiker_innen als äußerst wichtig betrachtet wird – und dieses Axiom heißt „V = HOD“.

„Dabei steht V für das gesamte mathematische Universum, die Gesamtheit aller mathematischen Objekte“, sagt Juan Aguilera. „In V stecken Zahlen, Funktionen, mathematische Räume – alles, was es in der Mathematik überhaupt gibt oder geben kann.“ HOD steht für „hereditarily ordinal definable“ – es bedeutet, dass eine Menge durch eine klare Beschreibung festlegbar ist, mit Logik und mathematischem Vokabular.

Wenn V = HOD korrekt ist, dann heißt das: Das gesamte mathematische Universum ist definierbar – zumindest theoretisch. Wenn V = HOD aber falsch ist, dann gibt es im mathematischen Universum Bereiche, die prinzipiell nicht beschreibbar sind – über die sich (auch in theoretisch unendlich komplizierten Definitionen) nicht sprechen lässt.

„Viele Leute in der Mathematik finden diese Vorstellung höchst unbefriedigend“, sagt Juan Aguilera. „Wir hätten gerne eine Mathematik, in der alles, was existiert, auch definierbar ist. Aber wir können nicht sagen, ob das der Fall ist.“

Was Juan Aguilera nun mit seinen Kollegen zeigen konnte: Das übliche mathematische Axiomensystem ZFC, die Existenz von „exacting cardinals“ und die Annahme „V = HOD“ – diese drei Konzepte sind unvereinbar. Wenn man von der inneren Widerspruchsfreiheit von ZFC ausgeht, bleiben somit nur zwei Möglichkeiten: Entweder „exacting cardinals“, die neu definierten überunendlichen Unendlichkeiten, existieren nicht, oder „V = HOD“ ist falsch, und das mathematische Universum enthält Bereiche, die sich prinzipiell jeder Definition entziehen.

„Das bedeutet: Aus der Existenz bestimmter unendlich großer Zahlen würde folgen, dass die Mathematik in gewissem Sinn undefinierbar und chaotisch ist“, sagt Juan Aguilera, „dass sie innere Symmetrien enthält, die eine Definition bestimmter Strukturen prinzipiell und für alle Zeiten unmöglich machen.“

Originalpublikation

Aguilera, J. P., Bagaria, J. & Lücke, P. (2026). Large infinities and definable sets. PNAS.

Rückfragehinweis

Dr. Juan P. Aguilera
Forschungsbereich Computational Logic 
Technische Universität Wien
+43 1 58801 104 382
juan.aguilera@tuwien.ac.at

Aussender: 

Dr. Florian Aigner
PR und Marketing
Technische Universität Wien
redaktion@tuwien.ac.at