VU 325.062 Stochastik

Inhalt

Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

In praktisch allen Bereichen von Technik und Naturwissenschaften tritt der Zufall als meist unerwünschte Größe auf. In der Produktion, Fertigungstechnik, Qualitätssicherung und ganz allgemein bei der Verarbeitung gemessener Daten müssen zufällige Phänomene methodisch richtig verarbeitet werden. Einerseits müssen aus vorhandenen Daten repräsentative Kennzahlen ermittelt werden (Statistik), und andererseits sollen auf Basis solcher Stichproben Aussagen über zukünftige Messergebnisse möglich sein (Wahrscheinlichkeitstheorie - Stochastik).

Die Lehrveranstaltung Stochastik soll solide Kenntnisse der statistischen und stochastischen Grundlagen, wie Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariable, Verteilungsdichtefunktionen und Erwartungswert vermitteln. Darüber hinaus wird die Problematik der Parameterschätzung aus Stichproben gemeinsam mit Hypothesen und Tests dargestellt. Damit soll ein grundlegendes Verständnis für Zusammenhänge zwischen Zufall, Wahrscheinlichkeit und Vorhersage ermöglicht werden. Die Verarbeitung gemessener Daten kann damit methodisch korrekt durchgeführt werden, und der Gültigkeitsbereich für Aussagen über die zugrundeliegenden Prozesse kann verlässlich angegeben werden. Wesentlich ist auch die Kompetenz, aus Daten Modelle und deren Parameter zu schätzen sowie Unsicherheiten der Parameter quantitativ richtig anzugeben. Damit können auch komplexe Regressionsmodelle zuverlässig erstellt werden. Insgesamt wird damit die Grundkompetenz hinsichtlich zufälliger Phänomene vermittelt, die in den modernen Ingenieurswisse schaften aber auch im Arbeitsalltag unabdingbar sind.

In einem ersten Abschnitt der Lehrveranstaltung werden Verteilungen und Erwartungswerte, Wahrscheinlichkeit, Definition einer Zufallsvariablen, strenge und schwache Beschreibung, Konfidenzintervall sowie das Zusammenwirken von mehreren Zufallsvariablen behandelt. Dieser Stoffbereich ist oft abstrakt und theoretischer Natur, stellt aber das wichtige Fundament für das Verständnis der folgenden Kapitel dar. Nach diesen grundlegenden Definitionen wird ein bereits praktisch wichtiger Teil vermittelt: Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, wie man Schätzwerte von statistischen Kenngrößen (z.B. Mittelwert und Varianz) erhält, und dass diese Kenngrößen nur zusammen mit Konfidenzintervallen Sinn ergeben. Der zentrale Grenzwertsatz stellt dabei die Grundlage dar und wird hier ebenfalls erläutert.

Ein großer Abschnitt ist den Hypothesentests gewidmet, da diese einerseits die wissenschaftliche Methodik verkörpern und andererseits viele praxisrelevante Fragestellungen treffend beantworten. Kern eines Hypothesentests ist eine Stichprobe (Messung, sample), welche Basis für eine allgemeingültige Aussage über die Grundgesamtheit ist. Die dabei möglichen Fehler erster und zweiter Art, ein- und zweiseitige Tests, sowie Tests für eine oder zwei Stichproben werden behandelt. Ein eigener Abschnitt ist der Varianzanalyse (ANOVA) gewidmet. Eine weitere wichtige Methode ist die Regressionsanalyse, welche es erlaubt, Modelle mit linearen Parametern an gemessene Daten optimal anzupassen. Die grundlegenden Methoden der Least Squares Schätzung, deren Eigenschaften, sowie Hypothesentests für die Modellparameter werden vermittelt. Die Residuenanalyse als einfache Modellvalidierung wird ebenfalls vorgestellt.

Die Absolventinnen und Absolventen der Lehrveranstaltung sollen einerseits grundlegende Probleme der Stochastik lösen können und andererseits ein tragfähiges Fundament für die selbstständige Vertiefung in angrenzenden Fachgebieten erworben haben.

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Institut für Mechanik und Mechatronik

Forschungsbereich Technische Dynamik und Fahrzeugdynamik

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