Die Frage, wie man nichtlineare Operationen im Kontext von L. Schwartz' Distributionentheorie konsistent definieren kann, ist von fundamentaler Bedeutung in Gebieten wie Quantenfeldtheorie, (semi-)Riemannscher Geometrie mit nichtglatten Metriken, linearen partiellen Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten sowie nichtlinearen Differentialgleichungen (stochastisch oder deterministisch) mit singulären Anfangs- oder Randwerten. Eine weit verbreiteter Lösungsansatz für dieses Problem sind Algebren verallgemeinerter Funktionen im Sinne von J. F. Colombeau, die auf asymptotischen Approximationen von Distributionen durch geeignete Folgen glatter Funktionen basieren.

In [13] entwickelte ich eine Konstruktion von nichtlinearen verallgemeinerten Tensorfeldern für Anwendungen in singulärer Differentialgeometrie. Ermöglicht wurde dies durch eine fundamentale Umarbeitung [8] der Theorie der Algebren nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen, welche wesentlichen Gebrauch von L. Schwartz Theorie der vektorwertigen Distributionen machte [12,6]. Mit diesen Ergebnissen lässt sich die Krümmung distributioneller (semi-)Riemannscher Metriken und verwandter Größen rigoros untersuchen, was mit klassischen Methoden nicht möglich ist.

Weiters studierte ich strukturelle Eigenschaften von Algebren verallgemeinter Funktionen [19,20,16,11,9,2,18,22], was den Beginn einer umfassenden Strukturtheorie für solche Algebren markiert. Insbesondere umfasst dies Punktwertcharakterisierungen [5] und Anwendungen in singulärer Differentialgeometrie [14,10,7,4,3]
Das wichtigste Beispiel für die Anwendung dieser Arbeiten ist die rigorose Berechnung der Krümmung von distributionellen Metriken [24,28,27].

Referenzen hier.

 

Eines meiner Wiederkehrenden Interessen ist das Studium der Theorie lokalkonvexer Räume, insbesondere (vektorwertiger) Distributionentheorie. Dieser Zugang erlaubt es zum Beispiel, Ergebnisse über Faltbarkeit und Regularisierung von Distributionen zu vereinheitlichen und zu verallgemeinern [17] und hat in weiterer Folge über das Studium der Laplace-Transformation von Distributionen [23,26] Anwendungen auf Fundamentallösungen. Weitere strukturelle Untersuchungen von Distributionenräumen führten zu einer neuen, einfacheren Beschreibung von diversen Topologien auf diesen [25,30], einer Darstellung von Dualräumen topologischer Tensorprodukte [15,21] sowie zu einer einheitlichen Folgenraumdarstellung von Funktions- und Distributionenräumen [26], was frühere Ergebnisse in diese Richtung zusammenfasst, erweitert und elegant mit Methoden der Zeitfrequenzanalyse in Verbindung bringt.

Referenzen hier.

In letzter Zeit beschäftige ich mich verstärkt mit hypokoerziven Evolutionsgleichungen, d.h. mit Evolutionsgleichungen die trotz fehlender Koerzivität durch die Kombination eines semidissipativen und eines konservativen Teiles exponentielles Abklingverhalten zeigen. Hierzu gibt es einen Preprint, in dem wir Begriffe, die in diesem Zusammenhang auftauchen (insbesondere den Hypokoerzivitätsindex) und dazugehörige Resultate auf unendlichdimensionale Hilberträume verallgemeinern.

Referenzen hier.