In der Kuratoriumssitzung vom 24.06.2026 hat der FWF entschieden, das Einzelprojekt "Computational Fractional Diffusion“ (Projektnummer PAT1917426, öffnet eine externe URL in einem neuen Fenster) von Ass.Prof. Markus FAUSTMANN mit einer Fördersumme von etwa 441.000€ zu fördern.
Im Mittelpunkt des Projekts steht die numerische Behandlung fraktionaler Differentialgleichungen. Solche Gleichungen beschreiben oftmals dynamische Prozesse, bei denen nichtlokale Effekte oder sogenannte Gedächtniseffekte auftreten. Anwendungen finden sich unter anderem in der Physik, Biologie, der Bildverarbeitung und im Finanzwesen. Da sich die zugrunde liegenden mathematischen Modelle in der Regel nicht exakt lösen lassen, sind leistungsfähige numerische Verfahren notwendig, um ihre Lösungen näherungsweise zu berechnen und die beschriebenen Systeme am Computer zu simulieren.
Im Projekt werden Finite-Elemente-Methoden (FEM) zur näherungsweisen Lösung spezieller Klassen fraktionaler Differentialgleichungen entwickelt und analysiert. Untersucht werden unter anderem Operatoren mit nichtlokalen Neumann-Randbedingungen, die Flussprozesse aus einem Objekt modellieren, sowie Operatoren mit variablen fraktionalen Exponenten, die beispielsweise in der Bildverarbeitung eingesetzt werden können. Darüber hinaus befasst sich das Projekt mit physikalisch relevanten nichtlinearen Gleichungen wie fraktionalen Schrödinger- und Peridynamik-Gleichungen.
Eine besondere mathematische Herausforderung besteht darin, dass die Lösungen solcher Gleichungen im Allgemeinen Singularitäten aufweisen. Diese können die Zuverlässigkeit und Genauigkeit numerischer Berechnungen beeinträchtigen. Gleichzeitig führt die Nichtlokalität fraktionaler Differentialoperatoren potentiell zu einem hohen Speicherbedarf und langen Rechenzeiten. Im Rahmen des Projekts werden diese Herausforderungen auf zwei Ebenen behandelt: Einerseits werden A-priori-Fehlerabschätzungen für FEM-Approximationen in lokalen Teilgebieten entwickelt sowie Regularität und Abklingverhalten der Lösungen rigoros untersucht. Andererseits werden effiziente Verfahren wie hp-FEM, adaptive Finite Elemente und Matrixkompressionstechniken für die betrachteten Modellprobleme analysiert, um eine effiziente numerische Lösung der Gleichungen am Computer zu ermöglichen.